Question

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2
（1）求a，b的值；
（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求实数m的取值范围（其中e为自然对数的底，e≈2.7）；
（3）令g（x）=f（x）-nx，如果g（x）图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，AB中点为C（x，0），求证：g′（x）≠0．

Answer

（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为-3，即f′（2）=-3，由函数f（x）=alnx-bx2得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=-3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；
（2）设h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；
（3）由点A（x1，0），B（x2，0）在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于x1、x2、n的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于x、n的方程，由中点坐标公式转化关于x1、x2、n的方程，两方程消去n，得关于x1、x2的方程，整理此方程，分子分母同除以x2，整理方程，右边为0，设t=，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以g′（x）≠0．
【解析】
（1），
所以，且aln2-4b=-6+2ln2+2，
解得a=2，b=1．
（2）f（x）=2lnx-x2，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，
则=，令h'（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在内，当时，h'（x）＞0，所以h（x）是增函数；
当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，所以h（x）是减函数
则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是
即1＜m≤e2-2．
（3）．
假设结论成立，则有，
（1）-（2），得．
所以．
由（4）得，所以，
即，即=，
令．
则，所以u（t）在0＜t＜1上是增函数，
u（t）＜u（1）=0，所以（5）式不成立，与假设矛盾，
所以g'（x）≠0．