Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），进而可得抛物线C在点P处的切线方程和直线PQ的方程，代入抛物线方程根据韦达定理，可求得x1+x2和x1x2的表达式，根据×求得y1=4及点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，
则，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y．
（Ⅱ）【解析】
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则抛物线C在点P处的切线方程是，
直线PQ的方程是．
将上式代入抛物线C的方程，得，
故x1+x2=，x1x2=-8-4y1，
所以x2=-x1，y2=+y1+4．
而=（x1，y1-1），=（x2，y2-1），×=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1
=-4（2+y1）+y1（+y1+4）-（+2y1+4）+1
=y12-2y1--7
=（y12+2y1+1）-4（+y1+2）
=（y1+1）2-
==0，
故y1=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．