Question

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=，，．
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：∀n∈N₊，a_n＞2；
（2）证明：是等比数列；
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．

Answer

（1）根据题意可分别求得a1和a2，进而求得b1，整理把代入整理得an+1bn+1=anbn═a1b1=4推断出代入中求得an和an+1的递推式，根据均值不等式可知＞2，进而可知an+1＞2进而推断出∀n∈N+，an＞2
（2）根据（1）中结论可求得an+1+2，an+1-2的表达式，进而可求得，判断出所以是等比数列．
（3）由（2）可求得数列的通项公式，进而求得an，设，根据进而判断出
可推断出，进而利用等比数列的求和公式求得Sn=．
【解析】
（1）由已知得a1=4，a2=，所以b1=1故an+1bn+1=anbn═a1b1=4；
由已知：an＞0，a1＞2，a2＞2，∴，
由均值不等式得an+1＞2
故∀n∈N+，an＞2

（2），，

所以，所以是等比数列

（3）由（2）可知∴
设，（n≥2）

∴当n≥2时，

=
=．