Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：DC∥平面PAB；
（2）求证：PO⊥平面ABCD；
（3）求证：PA⊥BD．

Answer

（I）由已知中四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，易得AB∥CD，进而由线面平行的判定定理得到答案．
（II）根据等腰三角形的性质及面面垂直的性质，可以得到PO⊥平面ABCD；
（III）根据（II）的结论，我们可判断出Rt△ABO≌Rt△BCD，结合全等三角形性质，得到BD⊥AO，BD⊥PO，根据线面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAO，再由线面垂直的性质即可得到PA⊥BD．
证明：（Ⅰ）由题意，AB∥CD，CD⊄平面PAB，
AB⊂平面PAB，
所以DC∥平面PAB…（4分）
（Ⅱ）因为PB=PC，O是BC的中点，
所以PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD；…（8分）
（Ⅲ）因为BD⊂平面ABCD，由（2）知PO⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△BCD中，
AB=BC=2，BO=CD=1，∠ABO=∠BCD=90°，
所以Rt△ABO≌Rt△BCD，故∠BA0=∠CBD，
即∠BA0+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
所以BD⊥AO，又AO∩PO=O，
所以BD⊥平面PAO，故PA⊥BD．…（12分）