Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）
（1）当函数f（x）有两个零点时，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，当x∈[-4，4]时，求函数f（x）的最大值．

Answer

（1）由题意得f′（x）=3（x-）（x+a）（a＞0），所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（，+∞），减区间为（-a，），所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（）=0，因为a＞0所以a=3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，∈[1，2]，当4≤a≤6时，因为函数f（x）在[-4，）上单调递减，在（，4]上单调递增，所以f（-4）-f（4）=8（a2-16）≥0，所以f（x）max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得当3≤a＜4时，f（x）max=f（4）=-4a2+16a+69；
【解析】
（1）由题意得f′（x）=3x2+2ax-a2=3（x-）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞，由f′（x）＜0得-a＜x＜，
所以函数f（x）的增区间为（-∞，-a），（，+∞），减区间为（-a，），
即当x=-a时，函数取极大值f（-a）=a3+5，
当x=时，函数取极小值f（）=-+5，
又f（-2a）=-2a3+5＜f（），f（2a）=10a3+5＞f（-a），
所以函数f（x）有两个零点，当且仅当f（-a）=0或f（）=0，
注意到a＞0，所以f（）=-=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由题知-a∈[-6，-3]，∈[1，2]，
当-a≤-4即4≤a≤6时，
函数f（x）在[-4，）上单调递减，在（，4]上单调递增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a2-16）≥0，
所以f（x）max=f（-4）=4a2+16a-59；
当-a＞-4即3≤a＜4时，
函数f（x）在[-4，-a）上单调增，在（-a，）上单调减，在（，4]上单调增，
注意到f（-a）-f（4）=a3+4a2-16a-64=（a+4）2（a-4），
所以f（x）max=f（4）=-4a2+16a+69；
综上，f（x）max=．