Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k₁，k₂
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k₁：k₂的值；
（2）求k₁：k₂的值．

Answer

（1）由题意椭圆的离心率，2a=4，由此知椭圆方程为，直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），由此能得到k1：k2=3．
（2）因为，所以a=2c，b=，椭圆方程为3x2+4y2=12c2，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，设C（x1，y1），D（x2，y2），由，消x得，（4+3m2）y2-6mxy-9c2=0，再由韦达定理进行求解．
【解析】
（1）由题意椭圆的离心率，2a=4，所以a=2，c=1，b=，
故椭圆方程为，…（3分），
则直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），
故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），
当点C在x轴上方时，，，
所以k1：k2=3，
当点C在x轴下方时，同理可求得k1：k2=3，
综上，k1：k2=3为所求．…（6分）
（2）【解析】
因为，所以a=2c，b=，
椭圆方程为3x2+4y2=12c2，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由，消x得，（4+3m2）y2-6mxy-9c2=0，
所以…（8分）
故，①
由，及，…（9分）
得=，
将①代入上式得=，…（10分）
注意到y1y20，得，…（11分）
所以k1：k2=3为所求．…（12分）