Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，5b²+5c²-8bc=5a²．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）把已知的等式变形后，利用余弦定理表示出cosA，把变形后的式子代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理及B的度数，得到C=-A，然后利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA的值代入即可求出sinC的值；
（Ⅱ）由第一问解得的sinA，B的度数及b的值，利用正弦定理即可求出a的值．
【解析】
（Ⅰ）∵在△ABC中，5b2+5c2-8bc=5a2，即b2+c2-a2=bc，
∴，（4分）
又∵，A+B+C=π，
∴，
∴．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，
∴在△ABC中，由正弦定理得．（12分）