Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，由，，知x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-8）=0，由韦达定理能够导出k2=-1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使成立的直线l不存在．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，
由题意知
所以，又a2=b2+c2，因此b=2
故椭圆的标准方程为（6分）
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
假设使成立的直线l存在，
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1
∵，，
∴
==1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0
将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2-8）=0
由求根公式可得，
0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2
因此（1+k2）（2m2-8）-4k2m2+m2（1+2k2）=0
将m2=k2+1代入上式并化简得k2=-1，
即此时直线l不存在；（10分）
（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=-1，
当x=1时，A，B，P的坐标分别为，
∴，∴
当x=-1时，同理可得，矛盾，即此时直线l不存在
综上可知，使成立的直线l不存在．（14分）