Question

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．

Answer

（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得an，进而根据推断出数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）把（1）中的an代入bn=anf（an）求得bn，把m代入，进而利用错位相减法求得Sn．
（3）把an代入cn，要使cn-1＜cn对一切n≥2成立，需nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，进而根据m的不同范围求得答案．
【解析】
（1）由题意f（an）=4+2（n-1）=2n+2，即logman=2n+2，
∴an=m2n+2
∴
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{an}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）由题意bn=anf（an）=m2n+2logmm2n+2=（2n+2）•m2n+2，
当
∴Sn=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①
①式乘以2，得2Sn=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②
②-①并整理，得Sn=-2•23-24-25-26-…-2n+2+（n+1）•2n+3=-23-[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3
==-23+23（1-2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n
（3）由题意cn=anlgan=（2n+2）•m2n+2lgm，要使cn-1＜cn对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2
∴对一切n≥2成立，只需，
解得，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜．
综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项