Question

给出下列三个结论：
①；
②（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）；
③（1+x）ⁿ＞1+nx（x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2）．其中正确的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

用比较法可证得①②正确，用数学归纳法可证的③正确．
【解析】
由于 -==≥0，
∴ 成立，故 ①正确．
∵（a12+a22）（b12+b22）-（a1b1+a2b2）2 =a12 b22+a22 b12-2a1b1a2b2=（a1b2-a2b1）2≥0，
故 （a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2   成立，故 ②正确．
③是正确的，下面用数学归纳法证之：
当n=2时，不等式显然成立． 假设（1+x）k＞1+kx，
则 （1+x）k+1＞（ 1+kx  ）（1+x）=1+（ k+1）x+k x2＞1+（ k+1）x，
故当n=k+1时，不等式也成立，∴③正确．
综上，这三个命题都正确，
故选 D．