Question

已知常数p＞0且p≠1，数列{a_n}前n项和数列{b_n}满足b_n+1-b_n=log_pa_2n-1且b₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若对于区间[0，1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，b_n≥（1-λ）（3n-2）恒成立，求k的最小值．

Answer

（1）当n≥2时，，整理得an=pan-1，由an＞0，知，故数列{an}等比数列．
（2）由an=pnbn+1-bn=logpa2n-1=2n-1，知bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=n2-2n+2，故（n2-2n+2）≥（1-λ）（3n-2），变形为（3n-2）λ+n2-5n+4≥0在λ∈[0，1]时恒成立．由此能求出k的最小值．
【解析】
（1）当n≥2时，整理得an=pan-1又
恒有an＞0从而数列an等比数列
（2）由（1）知an=pnbn+1-bn=logpa2n-1=2n-1∴bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）++（b2-b1）+b1=n2-2n+2
∴（n2-2n+2）≥（1-λ）（3n-2）变形为（3n-2）λ+n2-5n+4≥0在λ∈[0，1]时恒成立
记f（λ）=（3n-2）λ+n2-5n+4则有：或n≤1但由于n≥2∴n≥4
综上知：k的最小值为4