Question

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例）

Answer

（1）由题意可得函数的定义域（-∞，）∪（0．+∞），故可设[m，n]是已知函数定义域的子集．而函数在上单调递增．假设[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则，通过判断方程的解的存在情况进行判断是否存在和谐区间
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．由题意可得[m，n]⊂（-∞，0）或[m，n]⊂（0，+∞）
若函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，由题意可得函数在[m，n]上单调递增．，则，故m、n是方程，即a2x-（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根，利用一元二次方程有两个不同的实根的条件可求a＞3或 a＜-1而，由二次函数的性质可求
（3）可以举常见的基本初等函数，如y=-x+2，，即可．
【解析】
（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]⊂（-∞，0）或[m，n]⊂（0，+∞）
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则（4分）
故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2-3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．（6分）
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，，∴[m，n]⊂（-∞，0）或[m，n]⊂（0，+∞）
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则（10分）
故m、n是方程，即a2x-（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]
，∵，
∴当a=3时，n-m取最大值（14分）
（3）如：y=-x+2和谐区间为、[0，2，]，[-1，3，]，
当a+b=2的区间[a，b]；和谐区间为[0，，1]
和谐区间为[-1，0，]（18分）