Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且，acosB+bcosA=1，
（I）求c；
（II）若tan（A+B）=-．求•的最大值．

Answer

（I）利用正弦定理==表示出a与b，代入已知的等式中，利用二倍角的正弦函数公式化简，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）=sinC，等量代换可得c的值；
（II）由tan（A+B）的值，根据A和B的范围求出A+B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A+B的度数，进而求出C的度数，利用余弦定理表示出c2，把c的值及cosC的值代入，利用基本不等式即可求出ab的最大值，又根据平面向量的数量积运算法则可求出所求式子等于ab的一半，进而求出所求式子的最大值．
【解析】
（I）由acosB+bcosA=1及正弦定理，得
•cosB+•cosA=1，即csinAcosB+csinBcosA=sinC，
∴csin（A+B）=sinC，
又sin（A+B）=sin（π-C）=sinC≠0，
∴c=1；（4分）
（II）∵tan（A+B）=-，A和B为三角形的内角，故0＜A+B＜π，
∴A+B=，
∴C=π-（A+B）=，（5分）又c=1，且•=||||cosC=ab，
由余弦定理得，12=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=2•，
∴•≤，当且仅当a=b=1时取“=”号．
所以•的最大值是．（10分）