Question

已知函数f（x）=x³+（2-a）x²+（1-a）x（a≥0）．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围．

Answer

（I）先求导函数，然后讨论a为0时，f（x）在R上单调递增，然后研究a＞0时求出导数等于0的值，然后根据f'（x）＞0，f'（x）＜0得到函数的单调区间；
（II）讨论a，使函数f（x）在[0，1]上单调递增，求出相应的a的取值范围．
【解析】
（I）f'（x）=x3+（2-a）x+1-a=（x+1）（x+1-a）
当a=0时，f'（x）=（x+1）2≥0恒成立
当且仅当x=-1时取“=”号，f（x）在R上单调递增．  …（2分）
当a＞0时，由f'（x）=0，得x1=-1，x2=a-1且x1＜x2
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化如下表：

x （-∞，-1） -1 （-1，a-1） a-1 （a-1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 极大值 极小值

f（x）在（-∞，-1）单调递增，在（-1，a-1）单调增减，在（a-1，+∞）单调递增
（II）当a=0时，f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）≥f（0）=1恒成立． …（7分）
当a＞0时，由（I）可知
若0＜a≤1时，则f（x）在[0，1]上单调递增 …（9分）
若a＞1，则f（x）在[0，a-1]上单调递减，f（x）在[0，1]上不单调递增 …（11分）
综上，a的取值范围是[0，1]．   …（12分）