Question

过点M（1，1）作直线与抛物线x²=2y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P．
（I）求点P的轨迹方程；
（II）求△ABP的面积的最小值．

Answer

（I）设出过点M（1，1）的直线y=k（x-1）+1与抛物线x2=2y联立，利用导数的几何意义表示切线斜率，将两条直线联立的交点坐标，再结合韦达定理消参即可
（II）将△ABP的边|AB|和点P到直线AB的距离用斜率K表示，利用三角形面积公式，即可计算求△ABP的面积的最小值
【解析】
（I）设直线AB方程为由y=k（x-1）+1，
代入x2=2y，得x2-2kx+2k-2=0

则切线PA的方程为．①
同理，切线PB的方程为．②
由①、②两式得点P的坐标为，
于是P（k，k-1），即点P轨迹的参数方程为
消去参数k，得点P的轨迹方程为x-y-1=0．
（II）由（I）知
点P到直线AB的距离，
△ABC的面积．
当k=1时，S有最小值1．