Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求证：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值为，求PB的长．

Answer

（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；
（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD
（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D-PA-O的余弦值为，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．
【解析】
（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，
所以PO⊥BC，
又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，
面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（4分）
（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（-1，1，0），
=（1，2，-t），=（-2，1，0），
因为•=0，所以⊥，
即PA⊥BD．…（8分）
（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为=（a，b，c），=（x，y，z），
注意到=（-1，1，-t），=（1，2，0），=（0，0，t），
由，令a=1得，=（1，-2，），
由令y=-1得，=（2，-1，0），
所以cos60°===，
解之得t=，所以PB==2为所求．…（12分）