Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，设f（x）的最小值为g（a），若g（a）＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）求出函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）的导数，由于参数a的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（Ⅰ）的结论，求出g（a）的表达式，由于g（a）＜t恒成立，故求出g（a）的最大值，即得实数t的取值范围的左端点．
【解析】
（1）f′（x）=a-=（x＞-1），…（1分）
当a=0时，f′（x）=-＜0，所以函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间；
当a≠0时，f′（x）=，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得-1＜x＜，
所以函数f（x）的减区间为（-1，），增区间为（，+∞），；
若-1＜a＜0，此时-1，所以f′（x）=＜0，
所以函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间；
综上，当-1＜a≤0时，函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间，
当a＞0时，函数f（x）的减区间为（-1，），增区间为（，+∞），．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得，g（a）=f（）=1-（a+1）ln（+1），…（7分）
因为a＞0，所以g（a）＜t⇔⇔，
令h（x）=x-（1+x）ln（1+x）-tx，（x＞0），则h（x）＜0恒成立，
由于h′（x）=-ln（1+x）-t，
当t≥0时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以h（x）＜h（0）=0成立；…（10分）
当t＜0时，若h′（x）＞0，得0＜x＜e-t-1，
故函数h（x）在（0，e-t-1）上是增函数，
即对0＜x＜e-t-1，h（x）＞h（0）=0，与题意不符；
综上，t≥0为所求．…（12分）