Question

已知函数．若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是    ．

Answer

利用参数分离做此题比较简单，把a和含x的式子放在不等号的两边，最含x的式子，利用导数求其最值，即可得a的范围．
【解析】
∵函数，且f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，
∴函数＜x2，
∴a＞xlnx-x3，令h（x）=xlnx-x3，只要求得h（x）的最大值即可，
h′（x）=lnx+1-3x2，h″（x）=，∵x＞1，∴1-6x2＜0，
∴h″（x）＜0，∴h′（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h′max（x）=h′（1）=-3＜0，
∴h′（x）在（1，+∞）小于0，
∴h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴hmax（x）=h（1）=-1＜0，∴a＞-1
又∵x≠1，∴a可以等于-1，
∴a≥-1．
故答案为：[-1，+∞）．