Question

已知数列{a_n}满足．
（I）求a_n的通项公式；
（II）若，求b_n的前n项和S_n；
（III）若．求证：．

Answer

（Ⅰ）已知Sn求an的问题可以利用 进行求解，能合并就合并，从而求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得 bn=n•2n，是由一个等差数列与一等比数列的乘积，可利用错位相减法进行求和，再Sn的等式两边同时乘以公比，然后进行作差即可求出数列{bn}的前n项和Sn；
（III））把（Ⅰ）求得的结果代入，通过对cn进行放缩，达到求和的目的，从而证明了不等式的右边；要证不等式的左边，构造函数f（x）=2x-x2，求导，借助于该函数的单调性证明该不等式的左边，从而证明结论正确．
【解析】
（I）当n≥2时，
当n=1时，a1=1成立，故
（II）bn=n•2n
Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
由①-②得，-Sn=21+22+23++2n-n•2n+1
=
故Sn=（n-1）•2n+1+2
（III）证明：
令f（x）=2x-x2
f′（x）=2xln2-2x，又
故f′′（x）=2x（ln2）2-2≥f′′（5）＞0
故f′（x）在[5，+∞）上单调递增，故f′（x）≥f′（5）＞0
故f（x）在[5，+∞）上单调递增，故f（x）≥f（5）=7＞0
故当n＞4时，2n＞n2恒成立，即
故
又
故
综上可得，