Question

如图，在三棱柱△ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB=，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer

（I）根据本题条件可得BC1⊥AB，再解三角形的有关知识可得C1B⊥BC，进而根据线面垂直的判定定理可得答案．
（II）根据题意设出点的坐标，再求出两条直线所在的向量，然后利用向量的数量积等于0可得答案．
（III）分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1，
在△BCC1中有BC=1，BB1=2，∠BCC1=
所以由余弦定理可得：BC1==．
故有 BC2+C1B2=C1C2，
所以C1B⊥BC．
又因为BC∩AB=B，且AB，BC⊂平面ABC，
所以C1B⊥平面ABC．
（II）以BA为z轴，BC为x轴，BC′为y轴，建立空间直角坐标系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），，
设E（x，y，0），A（0，0，m），所以，，
设
则（0＜λ＜1）
故，
故⇒λ=1（舍）或
故E为CC′中点．
（III）由题设得，，，
所以，
设平面AEB′的一个法向量为，平面A′B′E的一个法向量为，
所以
令x=1，故，同理
所以
故
故，即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为．