Question

已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：（n∈N^*）．

Answer

（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，再讨论导数的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和
fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值；
（II）利用对数的运算性质将欲证不等式进行变形，即证
对函数f（x）令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减，故f（x）＜f（0）=0，即可得ln（1+x）＜x，最后令，取n=1、2、3…、n，将所得的不等式累加即可得出要证的不等式成立．
【解析】
（I）定义域为（-1，+∞）
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0⇒x＞2a-1
故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）
f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a-2a+1
（II）证：要证
即证
即证
即证
令，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令
故
累加得，

故，得证