Question

已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k₁、k₂，满足4k=k₁+k₂
①求证：m²为定值，并求出此定值；
②求△OPQ面积的取值范围．

Answer

（1）由题设条件，设c=，a=2k，则b=k，椭圆方程为，把点（，）代入，得k2=1，由此能求出椭圆方程．
（2）①由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，．直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，，由此解得．
②，令，得，由此能求出△OPQ面积的取值范围．
【解析】
（1）由题设条件，设c=，a=2k，则b=k，
∴椭圆方程为，
把点（，）代入，得k2=1，
∴椭圆方程为．
（2）①由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
∴．
∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，
∴，
∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．
②，令，
得，
∴S△OPQ∈（0，1）．