Question

已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）•e^-x．
（1）如果a=b=-3，求f（x）的单调区间和极值；
（2）如果a=6+，b=5+，n∈N^*，n≥1，函数f（x）在x=a_n处取得极值．
（i）求证：∑_i-1ⁿ＜a_n（ii）求证：f（a_n）＞a（a_n+1）．

Answer

（1）对函数f（x）求导，利用导函数的符号求解单调区间，根据函数的单调性求出函数的极值即可；
（2）利用导数研究函数f（x）的极值，根据g（x）=x3+x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，则x3+x-1=0有唯一解，
（i）因为0＜ai＜1，则有ai3＜ai，从而，所以，从而，由可得，所以；
（ii）根据题意可知，又，两式相减得1＞an+1＞an＞0，构造函数g（x）=，x∈（0，1），g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，则g（an）＞g（an+1）＞g（1）=，即可证得结论．
【解析】
（1）当a=b=-3时，f（x）=（x3+3x2-3x-3）e-x，
故f′（x）=-（x3+3x2-3x-3）e-x+（3x2+6x-3）e-x=-e-x（x-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调递增，在（-3，0），（3，+∞）单调递减；
极大值为f（-3）=6e3，f（3）=42e-3，极小值为f（0）=-3
（2）a=6+，b=5+，f（x）=[x3+3x2+（6+）x+（5+）]e-x，
f′（x）=-[x3+3x2+（6+）x+（5+）]e-x+[3x2+6x+（6+）]e-x=-e-x（x3+x-1）
令f′（x）=-e-x（x3+x-1）=0即x3+x-1=0
因为g（x）=x3+x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=＞0
∴x3+x-1=0有唯一解
（i）因为0＜ai＜1，则有ai3＜ai，，
所以所以

由可得，所以
（ii）证明：显然0＜an＜1
又，两式相减得＞0
所以an+1＞an，故1＞an+1＞an＞0
f（an）=（3），又，所以
所以f（an）=（） ，an∈（0，1）
构造函数g（x）=，x∈（0，1）
g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，
又1＞an+1＞an＞0
所以g（an）＞g（an+1）＞g（1）=
即f（an）＞f（an+1）．