Question

抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点是离心率为的双曲线：32y²-mx²=1的一个焦点，正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，则该正方形的面积是（ ）
A．18或25
B．9或25
C．18或50
D．9或50

Answer

离心率为的双曲线：32y2-mx2=1，可解得m=32，此是一等轴双曲线，求得它的焦点，再由抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点是离心率为的双曲线：32y2-mx2=1的一个焦点，求得抛物线的标准方程，根据正方形ABCD的两个顶点A、B在拋物线E上，C，D两点在直线y=x-4上，求正方形的面积即可．
【解析】
由题意双曲线的离心率为，故此双曲线是一个等轴双曲线，所以m=32
可得c2=+=，可得c=
由于抛物线与双曲线的焦点相同，故p=，抛物线E：x2=y
令直线AB的方程是y=x-b，代入抛物线E：x2=y得x2=x-b，
故有xA+xB=1，xA×xB=-b
由此得弦长AB为×=
又直线AB与直线CD两平行线的距离是
由题意知=，解得b=2，或b=6
当b=2时，正方形的边长为=3，其面积是18
当b=6时，正方形的边长为=5，其面积是50
故选C．