Question

方程f（x）=0的根称为函数，f（x）的零点．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），函数y=3ax³+2bx²+cx的图象如图所示，且f（x₁）f（x₂）≤0，则函数f（x）的零点个数是（ ）

A．1
B．3
C．2或3
D．1或3

Answer

函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），的导数为：f′（x）=3ax2+2bx+c，联系函数y=3ax3+2bx2+cx=x（3ax2+2bx+c）的图象可知，f′（x）=3ax2+2bx+c，的两个零点是：x1、x2，根据导数的几何意义可得函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）结合图象可得函数f（x）的零点个数．
【解析】
函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），的导数为：
f′（x）=3ax2+2bx+c，
又函数y=3ax3+2bx2+cx=x（3ax2+2bx+c）的图象如图所示，
由图可知，f′（x）=3ax2+2bx+c，的两个零点是：x1、x2，
根据导数的几何意义可得：函数f（x）的极值点是：x1、x2，
又f（x1）f（x2）≤0，
说明函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）
则函数f（x）的零点个数是：2或3．
故选C．