Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=2+，a₁=2，b_n=，且数列{b_n}为公比不为1的等比数列．
（1）求k的值；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n；
（3）令c_n=，求证：（m、n∈N^*）．

Answer

第1问根据等比数列的定义及给出的两个关系式求出k的值．第2问对于{nbn}等差数列乘以等比数列构成的数列求和采用错位相减法．第3问先根据bn求出cn，然后分左右两边的不等式分别证明，左边不等式需构造函数，利用函数的单调性得出最值．然后给n依次取1，2，3，…，2m-1时成立的式子累加可达到证明的目的；右边不等式用数列的单调性，即后项减前项的结果正或负判断增还是减，从而利用单调性达到证明的目的．
【解析】
（1）设{an} 的公比为q≠1，即，又，
∴是关于n∈N*的恒等式．
∴（2-k）an+3=3qan-3qk是关于n∈N*的恒等式．
∴又q≠1，∴k=3…4分
（2）由（1）知
∴…5分
∴
…①
…②
①-②得：

=
=
∴…7分
（3）由题意cn=n，即证
  先证
令 f（x）=ln（x+1）-x，则
当x∈（-1，0）时，-x＞0，1+x＞0，f′（x）＞0
∴f（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，-∞）时，-x＜0，1+x＞0，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，-∞）上单调递减．
∴f（x）max=f（0）=0
∴f（x）≤0，即ln（x+1）≤x…8分
令，则，即
∴ln2≤1

…

相加得：…10分
即
再证：
令
则
∴…12分
∴h（m）单调递减．
∵h（1）=1-1=0∴h（m）≤h（1）=0
即…13分
综上得：…14分