Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们将乘积a₁⋅a₂⋅…⋅a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2006）内的所有劣数之和记为M，则M=（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

Answer

由题意，an=log（n+1）（n+2）（n∈N+），我们将乘积整数的数n叫做“劣数”，运算得a1⋅a2⋅…⋅an=log2（n+2），可得n+2必为2的整数次幂，由此计算出区间（1，2006）内所有的n，求M
【解析】
由对数的运算性质及an=log（n+1）（n+2）（n∈N+），得a1⋅a2⋅…⋅an=log2（n+2），令log2（n+2）=k，k∈z
故n=2k-2，k∈z
又n∈N+，故最小的n为2，又211-2＞2006，210-2＜2006故n的最小值是10
由此知，符合条件的劣数组成的数列为{2r-2}，r=2，…，10
故M=-2×9=2026
故选C