Question

已知函数f（x）的导数f″（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f″（x）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根α；
（Ⅱ） 求证：当x＞α时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-α|＜2，|x₂-α|＜2，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer

（I）假设f（x）=x有不同于α的实数根β，利用反证法，我们可以证明假设不成立，进而得到方程f（x）=x存在唯一的实数根a；
（II）我们构造函数g（x）=x-f（x），我们可以利用导数法判断出函数g（x）的单调性，进而得到当x＞a时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）不妨设x1＜x2，由已知中0＜f′（x）＜1，可以判断出f（x）在定义域上为增函数，结合（II）中的结论，我们可得x1-f（x1）＜x2-f（x2），进而得到当|x1-a|＜2，|x2-a|＜2时，有|f（x1）-f（x2）|＜4．
【解析】
（I）设f（x）=x有不同于α的实数根β，即f（β）=β，不妨设β＞α，
于是在α与β间必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f′C、∴f′C、=1，这与已知矛盾，∴方程f（x）=x存在唯一实数根α．
（II）令g（x）=x-f（x）
∴g′（x）=1-f′（x）＞0
∴g（x）在定义域上为增函数
又g（α）=α-f（α）=0∴当x＞α时，g（x）＞g（α）=0
∴当x＞α时，f（x）＜x、
（III）不妨设x1＜x2，∵0＜f′（x）＜1∴f（x）在定义域上为增函数
由（2）知x-f（x） 在定义域上为增函数、∴x1-f（x1）＜x2-f（x2）
∴0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1
即|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|
∵|x2-x1|≤|x2-α|+|x1-α|＜4
∴|f（x1）-f（x2）|＜4．