Question

椭圆的中心是原点O，短轴长为，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：．

Answer

（I）由题意可得2b=2，结合a2=b2+c2可求a，b，c，进而求椭圆的方程
（II）可先设PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（-1，0）由PF⊥QF可得（x1+1）（x2+1）+y1y2=0
故需要联立方程，可得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0，进而可得x1x2=，x1+x2=，代入可求
（III）要证，只要证明P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，与反向即可
【解析】
（I）由题意可得2b=2，
∵a2=b2+c2∴
∴椭圆的方程为
（II）设PQ：y=k（x+4），P（x1，y1），Q（x2，y2），F（-1，0）
∵PF⊥QF∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（x1+1）（x2+1）+k2 （x1+4）（x2+4）=0
∴（1+k2）x1x2+（1+4k2）（x1+x2）+（1+16k2）=0
联立，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-12=0
∴x1x2=，x1+x2=
代入化简得8k2=1∴k=±．
∴直线PQ的方程为y=（x+4）或y=（x+4）．
（III）如图所示，
又|QN|=2|QF|，|PM|=2|PF|∴
又|FQ′|=|FQ|∴
再∴
又∠PP1F=∠Q′Q1F=90°
∴P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，与反向．
∴=．