Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，，{c_n}前n项和为T_n，T_n-n＞m对（n∈N*，n≥2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）根据不等式的解集有一个元素，写出判别式要满足的条件，求出a的值，把所求的两个数值代入解析式进行检验，看哪一个符合单调性，求出a的值．
（2）根据数列{an}的前n项和Sn=f（n），写出前n项和的表示式，根据由前n项和求通项的方法写出数列的通项，验证首项是否符合所求的通项，得到是一个分段形式．
（3）构造出两个新数列，要求数列{Cn}的前n项和，把数列分成三部分来求，整理出最简形式，根据Tn-n＞m对（n∈N*，n≥2）恒成立可转化为：对n∈N*，n≥2恒成立，根据是关于n的增函数，得到结论．
解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4．
（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4，当n=1时，a1=s1=1
当n≥2时，an=sn-sn-1=（n2-4n+4）-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5．
∴．
（3）∵，
∴，，．
Tn=c1+c2+…+cn=]
=
Tn-n＞m对（n∈N*，n≥2）恒成立可转化为：对n∈N*，n≥2恒成立，
因为是关于n的增函数，
所以当n=2时，其取得最小值18，
所以m＜18．