Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数的图象上任意两点，且，已知M的横坐标为．
（1）求证：M点的纵坐标为定值；
（2）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（3）已知，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，T_n＜λ（S_n+1+1），对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围．

Answer

（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
（2）=，即
以上两式相加后两边再同时除以2就得到Sn．
（3）当n≥2时，根据题设条件，由Tn＜λ（Sn+1+1）得，
∴，再由均值不等式求出λ的取值范围．
【解析】
（1）∵
∴M是AB的中点，设M点的坐标为M（x，y），
由，得x1+x2=1，则x2=1-x1
而
=
∴M点的纵坐标为定值
（2）由（1）知若x1+x2=1则f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，=
即
以上两式相加得：═
∴
（3）当n≥2时，
∴Tn=a1+a2+…+an==
由Tn＜λ（Sn+1+1）得
∴
∵，当且仅当n=2时“=”成立
∴．
因此，即λ的取值范围为