Question

{a_n}是正项数列，其前n项．和为Sn，且1与Sn的几何平均数等于1与a_n的算术平均数．
（1）求证：{a_n}为等差数列，并求a_n
（2）若＜（m²-m）关于n∈N^*恒成立，求正数m的范围；
（3）记T_n=，求证：4T_2ⁿ≥n+2．

Answer

第1问利用几何平均数和算术平均数的概念列出Sn与an的关系式，然后利用：可得出an与an-1递推关系证明出{an}是等差数列；第2问因为第1问知{an}是等差数列，所以数列的前n项和可以用裂项法求出，然后根据数列的单调性和对数函数的单调性可以证明出该不等式．第3问先表达出Tn，然后在表达出，在构造，利用f（n）-f（n-1）结果的正、负来判断出单调性，从而可以证明出最后的结论．
【解析】
（1）由题意得：，即4Sn=1+2an+an2      ①
当n=1时，a1=1
当 n≥2时，4Sn1=1+2an-1+an-12 ②
又an＞0
∴an-an-1=2（n≥2）
∴{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．
∴an=2n-1…4分
（2）由（1）知：
=
=
=
由数列单调性知：
由题意得：，其中m＞0且 m≠1
∵=
∴≥1=logmm…③
由得：m＞1
 所以由③可得：m2-m≥m，即  m（m-2）≥0，∴m≥2  
 m的范围为[2，+∞）…9分
（3）由题意得：
∴
令
则
=

∴f（n）单调递增．
由
∴f（n）≥0
∴…14分