Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1）．数列{a_n}中，对任何正整数n，等式（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0都成立，且a₁=2，当n≥2时，a_n≠1；设b_n=a_n-1．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{nb_n}的前n项和，，求的值．

Answer

（1）将an代入到函数g（x）、f（x）中对式子（an+1-an）g（an）+f（an）=0进行整理可得到（an-1）•（4an+1-3an-1）=0，
再由an≠1可得到4an+1-3an-1=0，即再代入到bn+1=an+1-1中即可得到，从而得数列{bn}的通项公式．
（2）根据数列{bn}的通项公式可得到、，再由错位相减法可求出Sn的值，经过整理可求出的值，最后再取极限即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）∵（an+1-an）•4（an-1）+（an-1）2=0
∴（an-1）•（4an+1-3an-1）=0．
根据已知，an≠1∴
∵b1=a1-1=1，
，
∴{bn}是b1=1，公比的等比数列．
∴
（Ⅱ）∵
∴①
②
①-②得
+=
∴Sn=16-4（n+4）
而=16
∴