Question

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

Answer

（Ⅰ）借助空间向量来证 DE⊥AC，只需在空间直角坐标系下，证明=0 即可．以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再写出定点E，A，B，D的坐标，求出C点坐标，向量，坐标，再计算（Ⅱ），看是否为0．
（Ⅱ）DE与平面BEC所成角，也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角，设平面BCE的法向量为=（x，y，z） 则
根据法向量与平面内任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐标，再求平面BCE的法向量与DE所成角，最后求出该角的余角即可．
（III）先假设直线BE上存在一点M，使得CM∥平面ADE，向量垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在．
【解析】
（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），
做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐标为C（1，1，）
∴=（0，-2，），=（1，1，）
∴=（0，-2，）•（1，1，）=0
故DE⊥AC                                                        
（Ⅱ）设平面BCE的法向量为=（x，y，z） 则
，即∴
令x=1得=（1，-1，）    又=（0，-2，）                          
设平面DE与平面BCE所成角为θ，则
sinθ=|cos＜，＞|==
（III）假设存在点M使得CM∥面ADE，则=
=（2，0，-），∴=（2λ，0，-）  得M（2λ，0，）     
又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE
因为CM∥面ADE，则 即
得2λ-1=0∴λ=
故点M为BE的中点时CM∥面ADE．