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已知椭圆C:manfen5.com 满分网(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,其左、右焦点分别是F1、F2,点P是坐标平面内的一点,且|OP|=manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网=manfen5.com 满分网(点O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M、N使manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,λ∈(0,2)求△OMN面积的最大值.
(1)设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),由|OP|=得,由,得,由此能求出椭圆C的方程. (2)由,得,设直线MN的方程为y=kx+m,联立方程组,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理知,由,知,,,=,O(0,0)到直线MN的距离为d=,由此能求出S△OMN的最大值. 【解析】 (1)设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0), 由|OP|=得, 由,得(-c-x,-y)•, 即, 所以c=,又因为,所以a2=3,b2=1, 椭圆C的方程为:; (2)由得, 设直线MN的方程为y=kx+m,联立方程组 消去y得:(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则, ∴, ∵,∴,, 得,于是, ∴=, ∵λ>0,O(0,0)到直线MN的距离为d=, ∴ =, 当,即时等号成立,S△OMN的最大值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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