Question

已知函数f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数的符号，进一步判断出函数的单调性，求出函数的最小值．
（2）要使不等式有解，分离出参数a，构造新函数g（x），求出g（x）的导函数，判断出g（x）的单调性，求出函数的最大值，令a小于最大值即可．
（3）通过微积分基本定理求出Sn，仿写等式求出数列的通项，利用等比数列的定义说明存在这样的等比数列．
【解析】
（1）f′（x）=ex-1                                 
由f′（x）=0得x=0
当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减
∴f（x）min=f（0）=1                 
（2）∵M∩P≠∅，∴有解
由f（x）＞ax得ex-x＞ax
即上有解           
令  
∴
∴上减，在[1，2]上增
又，且
∴
∴                                               
（3）设存在等比数列{bn}，b1+b2+…+bn=Sn
∵Sn=∫tn[f（x）+x]dx=en-et
∴b1=e-et           
n≥2时bn=Sn-Sn-1=（e-1）en-1
当t=0时bn=（e-1）en-1，数{bn}为等比数列
t≠0时，则数{bn}不是等比数列
∴当t=0时，存在满足条件的数bn=（e-1）en-1满足题意