Question

数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列{a_n}的公差d等于首项a₁，试用数学归纳法证明：对于任意n∈N*，都有S_n=；
（2）若数列{a_n}满足：3a₅=8a₁₂＞0，试问n为何值时，S_n取得最大值？并说明理由．

Answer

（1）当n=1时，S1=b1，==b1，原式成立．假设当n=k时，Sk=成立，由此证明n=k+1时，等式仍然成立．
（2）由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=-＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=-＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．
【解析】
（1）证明：当n=1时，S1=b1，==b1，原式成立．（1分）
假设当n=k时，Sk=成立，（2分）
则Sk+1=Sk+bk+1=（4分）
====（6分）
所以n=k+1时，等式仍然成立，故对于任意n∈N*，都有Sn=；（8分）
（2）因为3a5=8a12＞0，所以3a5=8（a5+7d），a5=-＞0，所以d＜0
又a16=a5+11d=-＞0，a17=a5+12d=＜0，（11分）
所以a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，
因为b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，（13分）
a15=a5+10d=-＞0，a18=a5+13d=＜0，
所以a15＜-a18，所以b15＞-b16，b15+b16＞0，（15分）
故S16＞S14，所以Sn中S16最大．（16分）