Question

在R⁺上的递减函数f（x）同时满足：（1）当且仅当x∈M⊈R⁺时，函数值f（x）的集合为[0，2]；（2）f（）=1；（3）对M中的任意x₁、x₂都有f=f（x₁）+f（x₂）；（4）y=f（x）在M上的反函数为y=f^-1（x）．
（1）求证：∈M，但∉M；
（2）求证：f^-1（x₁）•f^-1（x₂）=f^-1（x₁+x₂）；
（3）解不等式：f^-1（x²-x）•f^-1（x-1）≤．

Answer

（1）根据当且仅当x∈M⊈R+时，函数值f（x）的集合为[0，2]，且f（）=1，对M中的任意x1、x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），即可证得结论；
（2）根据y=f（x）在M上递减，可得y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]，任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M），代入f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）即可证得结论；（3）f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤等价于：f-1（x2-x+x-1）≤f-1（1），利用函数的单调性，即可把原不等式转化为，解此不等式组即可求得结果．
【解析】
（1）证明：因为∈M，又=，f（）=1，
所以f（）=f（×）=f（）+f（）=2∈[0，2]，所以∈M，
又因为f（）=f（×）=f（）+f（）=3∉[0，2]，所以∉M；
（2）因为y=f（x）在M上递减，所以y=f（x）在M有反函数y=f-1（x），x∈[0，2]
任取x1、x2∈[0，2]，设y1=f-1（x1），y2=f-1（x2），
所以x1=f（y1），x2=f（y2）（y1、y2∈M）
因为x1+x2=f（y1）+f（y2）=f（y1y2），
所以y1y2=f-1（x1+x2），又y1y2=f-1（x1）f-1（x2），
所以：f-1（x1）•f-1（x2）=f-1（x1+x2）；
（3）因为y=f（x）在M上递减，所以f-1（x）在[0，2]上也递减，
f-1（x2-x）•f-1（x-1）≤等价于：f-1（x2-x+x-1）≤f-1（1）

即：
所以≤x≤2．