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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面...

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体积为manfen5.com 满分网
(1)求A1A的长;
(2)在线段BC1上是否存在点P,使直线A1P与C1D垂直,如果存在,求线段A1P的长,如果不存在,请说明理由.

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(1)利用体积转化,求A1A的长; (2)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,过Q作QP∥CB交BC1于点P,推出A1P⊥C1D,证明A1P⊥C1D,推出△D1C1Q∽Rt△C1CD,再求求线段A1P的长. 【解析】 (1)∵ =,∴AA1=4.(5分) (2)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q, 过Q作QP∥CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.(7分) 因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D, ∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1, 又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQC1, 且A1P⊂平面A1PQC1,∴A1P⊥C1D.(10分) ∵△D1C1Q∽Rt△C1CD, ∴,∴ ,∴. ∵四边形A1PQD1为直角梯形,且高, ∴.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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