Question

已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂，在双曲线C上有一点M，使MF₁⊥MF₂，且△MF₁F₂的面积为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（3，1）的动直线 l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer

（1）由双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，知a2=3b2．由MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．知|MF1||MF2|=2．由此能导出双曲线C的方程．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P1，Q1，A1，B1，则 ，，，，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，由|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，知[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记PBAQxy．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支相交于两点A，B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，知．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记．由过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，知λ＞0且λ≠1．由A，P，B，Q四点共线，设，则λ1+λ2=0．由此能够证明点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
【解析】
（1）∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，
∴．即a2=3b2．                      ①
∵MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为1．
∴，即|MF1||MF2|=2．
∵||MF1|-|MF2||=2a，
∴|MF1|2-2|MF1||MF2|+|MF2|2=4a2．
∴|F1F2|2-4=4a2．
∴4（a2+b2）-4=4a2，∴b2=1．                     ②
将②代入①，得a2=3．
∴双曲线C的方程为．
（2）解法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，又设直线l的倾斜角为θ，分别过点P，Q，A，B作x轴的垂线，垂足分别为P1，Q1，A1，B1，
则 ，，，，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴（3-x1）（x2-x）=（x-x1）（3-x2），
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．③
设直线l的方程为y-1=k（x-3），④
将④代入=1中整理，得
（1-3k2）x2-6k（1-3k）x-3[（1-3k）2+1]=0．
依题意x1，x2是上述方程的两个根，且1-3k2≠0，
∴⑤
将⑤代入③整理，得x-2=k（x-3）．⑥
由④、⑥消去k得x-2=y-1，这就是点Q所在的直线方程．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．
解法2：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，
∵|AP|•|QB|=|AQ|•|PB|，
∴，即，
即[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．
以下同解法1．
解法3：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记
PBAQxy．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支
相交于两点A，B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
∴．
即
∴③
由③消去λ，得[6-（x1+x2）]x=3（x1+x2）-2x1x2．
以下同解法1．
解法4：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），
由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记．
∵过点P的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于两点A、B，
∴λ＞0且λ≠1．
∵A，P，B，Q四点共线，
设，则λ1+λ2=0．
即
∴
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线C上，
∴，其中i=1，2．
∴λ1，λ2是方程的两个根．
即λ1，λ2是方程（x2-3y2-3）λ2+6（x-y-1）λ+3=0的两个根．
∵λ1+λ2=0，且x2-3y2-3≠0，
∴，即x-y-1=0．
∴点Q（x，y）总在定直线x-y-1=0上．