Question

已知实数x，y满足x≥1，y≥1，log_a²x+log_a²y=log_a（ax²）+log_a（ay²），（a＞1）则log_a（xy）的取值范围为    ．

Answer

根据所给的关于对数的等式，利用对数函数的性质进行整理，得到loga2x+loga2y=2logax+2logay+2．利用基本不等式进行变换，得到关于要求的代数式的不等式，换元得到关于变量的一元二次不等式，解出结果．
【解析】
∵loga2x+loga2y=loga（ax2）+loga（ay2），
∴loga2x+loga2y=logax2+logay2+2
∴loga2x+loga2y=2logax+2logay+2
∴≤loga2x+loga2y=2（logax+logay）+2
令logax+logay=t
∴解得2-2≤t≤2+2
∵x≥1，y≥1，a＞1，可得logax≥0，logay≥0，即logax+logay=t≥0
∴0，
∴0≤loga（xy）≤2+
故答案为：[0，2+]