Question

已知椭圆，圆C：x²+（y-2t）²=t²（t＞0），过椭圆右焦点F₂作圆C切线，切点为A，B
（1）当t=1时，求切线方程
（2）无论t怎样变化，求证切点A，B分别在两条相交的定直线上，并求这两条定直线的方程．

Answer

（1）求出F2（1，0）当切线斜率存在时设为k即切线方程为：y=k（x-1）再由圆心（0，2）到圆心的距离为1即可求出k．当斜率不存在时可直接写出切线方程x=1．
（2）由（1）知可求出切线方程为与x=t再与圆x2+（y-2）2=1联立求得B（）A（t，2t）然而，koA=2kOB=-2故切点A，B分别在两条相交的定直线上的直线方程为y=-2x，y=2x．
【解析】
当t=1椭圆为：圆C为：x2+（y-2）2=1
∵a2=1，b2=1
∴c2=1
∴F2（1，0）
当过F2与圆相切的切线斜率存在时设为k则切线方程为y=k（x-1）故
∴k=
∴即3x+4y-3=0
当过F2与圆相切的切线斜率不存在时则切线方程为x=1
综上当t=1时切线方程为3x+4y-3=0，x=1
（2）∵a2=2t2，b2=t2
∴c2=t2
∴F2（t，0）（t＞0）
由（1）知切线斜率存在时设为k则切线方程为y=k（x-t）
∴
∴k=
∴切线为与圆x2+（y-2）2=1联立求得B（）
当切线斜率不存在时切线为x=t则且点A（t，2t）
koA=2kOB=-2
∴LOA：y=-2xLOB=2X
∴A，B分别在y=-2x，y=2x上且y=-2x，y=2x相交与点（0，0）