Question

已知椭圆M：的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向平面区域Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆内的概率为．
（Ⅰ）试求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论、

Answer

（Ⅰ）平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得，由此可导出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：，C（x1，y1），D（x2，y2）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：，
∴，
然后结合题设条件，由根的判别式和根与系数的关系能够推导出k1+k2为定值0．
【解析】
（Ⅰ）平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示．
依题意及几何概型，可得，
即．
因为，
所以，．
所以，椭圆M的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为：，C（x1，y1），D（x2，y2）
联立直线l'的方程与椭圆方程得：

（1）代入（2）得：
化简得：x2+bx+b2-3=0）
当△＞0时，即，b2-4（b2-3）＞0
也即，|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得：，
所以，，

则k1+k2==
所以，k1+k2为定值．