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如图,已知M(m,m2)、N(n,n2)是抛物线C:y=x2上两个不同点,且m2+n2=1,m+n≠0,直线l是线段MN的垂直平分线.设椭圆E的方程为manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当M、N在抛物线C上移动时,求直线L斜率k的取值范围;
(Ⅱ)已知直线L与抛物线C交于A、B、两个不同点,L与椭圆E交于P、Q两个不同点,设AB中点为R,OP中点为S,若manfen5.com 满分网,求椭圆E离心率的范围.
(1)先用M,N的坐标表示出直线MN的斜率,进而表示出直线l的斜率,根据m2+n2=1,由m2+n2≥2mn求得m和n的不等式关系,进而求得k的范围. (2)先根据题意整理出直线l的方程,进而代入椭圆和抛物线方程,利用P,S表示出求得a和k的关系,利用(1)中k的范围求得a的范围,进而求得椭圆离心率的范围. 【解析】 (1)∵直线MN的斜率, 又∵l⊥MN,m+n≠0,∴直线l的斜率 ∵m2+n2=1,由m2+n2≥2mn,得2(m2+n2)≥(m+n)2, 即2≥(m+n)2,∴ 因M、N两点不同,∴, ∴ (2)∵l方程为:, 又∵m2+n2=1,, ∴l:y=kx+1,代入抛物线和椭圆方程并整理得:x2-kx-1=0(1), (a+2k2)x2+4kx+2-2a=0(2) 易知方程(1)的判别式△1=k2+4>0恒成立,方程(2)的判别式△2=8a(2k2+a-1) ∵,a>0, ∴2k2+a-1>a>0,∴△2>0恒成立 ∵R(,+1),S(,), 由得:, ∴, ∵,∴a==2->2-=,<a<2, ∴,∴a=2-2e2>, e2<,∴0<e<, ∴椭圆E离心率的取值范围是(0,)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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