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满分5
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高中数学试题
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若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值． ...
若函数f（x）=ax
3
+bx
2
+cx+d是奇函数，且当
时，f（x）取得极小值
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数
，若不等式
在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．
（1）根据函数是奇函数，得出b，d的值，再求出函数的导数，根据在处的有极值得出在x=1处的导数为0，求出a，c的值； （2）问题等价于，利用导数可求，进而转化为解不等式． 【解析】 （1）由题意b=d=0，f′（x）=3ax2+c，又当时，f（x）取得极小值， ∴，∴a=-1，c=1，∴f（x）=x-x3； （2），从而函数在（0，2k）为单调减函数，所以，∴k∈（0，1]
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考点分析：
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如图，已知M（m，m
2
）、N（n，n
2
）是抛物线C：y=x
2
上两个不同点，且m
2
+n
2
=1，m+n≠0，直线l是线段MN的垂直平分线．设椭圆E的方程为
．
（Ⅰ）当M、N在抛物线C上移动时，求直线L斜率k的取值范围；
（Ⅱ）已知直线L与抛物线C交于A、B、两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，OP中点为S，若
，求椭圆E离心率的范围．
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如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD．AD=1，AB=
，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角的大小．
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
=pn
2
-2n+q（p，q∈R），n∈N
+
．
（Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a
1
与a
5
的等差中项为18，b
n
满足a
n
=2log
2
b
n
，求数列{b
n
}的前n和T
n
．
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已知函数f（x）=sinx+sin（x+
），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（α）=
，求sin 2α的值．
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给出下列命题：
①在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；
②将函数
图象向右平移
个单位，得到函数y=sin2x的图象；
③在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=60°，则△ABC必为锐角三角形；
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数
的图象有三个公共点．
其中真命题是
．（填出所有正确命题的序号）
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试题属性
题型：解答题
难度：中等
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时，f（x）取得极小值
．
，若不等式
在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．
．
，求椭圆E离心率的范围．
，BC=4．
查看答案
图象向右平移
个单位，得到函数y=sin2x的图象；
的图象有三个公共点．
），x∈R．
，求sin 2α的值．