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已知△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,且EC,DB在平面A...

已知△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,且EC,DB在平面ABC的同侧,CE=CA=2BD=2.
(1)求证平面CAE⊥平面DAE;
(2)求:点B到平面ADE的距离.

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(1)由于N是EA的中点,容易得到DN∥BM,而BM⊥平面ECA,从而得证; (2)直接根据VB-ADE=VE-ADB=VC-ADB,列出关于点B到平面ADE的距离的等式,即可求出结论. 【解析】 (1)证明:取AC中点M,取AE中点N,连接MN、MB,DN, ∵N是EA的中点, ∴MN=EC.由BD=EC,且BD⊥平面ABC, 可得四边形MNBD是矩形,于是DN∥BM. ∴DN⊥AC ∵CE=CA=2BD=2 ∴可得DE=DA,N是EA的中点, ∴DN⊥EA.又EA∩MN=M, ∴DN⊥平面ECA,DN⊂平面DEA, ∴平面DEA⊥平面ECA. (2):设点B到平面ADE的距离为h ∵△ABC为正三角形 ∴C到AB的距离d=,由BD⊥平面ABC可得C到AB的距离即为C到面ABD的距离, ∵VB-ADE=VE-ADB=VC-ADB. ∴××DN•AE•h=×S△ABD•d. ∴h=====.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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