Question

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，点P（-1，1）为圆O上一点．曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，点F为其右焦点．过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的右准线l于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：直线PQ与圆O相切．

Answer

（1）由题意，得a=，e=，c=1，b2=1．由此可知椭圆C的标准方程为．
（2）由题意知直线OQ的方程为y=2x，又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4），．由此可知OP⊥PQ．所以直线PQ与圆O相切．
【解析】
（1）由题意，得a=，e=，
∴c=1，∴b2=1．
所以椭圆C的标准方程为．（6分）
（2）∵P（-1，1），F（1，0），
∴，∴kOQ=2．
所以直线OQ的方程为y=2x．（10分）
又椭圆的右准线方程为x=2，所以Q（2，4），所以．
又kOP=-1，所以kPQ•kOP=-1，即OP⊥PQ．
故直线PQ与圆O相切．（15分）