Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+ψ）（A＞0，ω＞0，|ψ|＜），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．f（x）=2sin（x+）
B．f（x）=4sin（x+）
C．f（x）=2sin（x-）
D．f（x）=4sin（x-）

Answer

利用求导法则求出f（x）的导函数，根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，且根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及ψ的值代入即可确定出f（x）的解析式．
【解析】
对函数f（x）=Asin（ωx+ψ）求导得：f′（x）=ωAcos（ωx+ψ），
由导函数的图象可知：导函数的周期为2[-（-）]=4π，
则有T==4π，解得ω=，
由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，
∴导函数f′（x）=2cos（x+ψ），
把（-，2）代入得：4cos（-+ψ）=2，且|ψ|＜，
解得ψ=，
则f（x）=4sin（x+）．
故选B