Question

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，b₁，b₃是函数f（x）=x²-5x+4的两个零点．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）若数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+n+2，且a₁+a₂+a₃+…+a_m≤63，求m的最大值．

Answer

（I）由已知中{bn}是公比大于1的等比数列，b1，b3是函数f（x）=x2-5x+4的两个零点，我们易求出数列{bn}的首项及公比，进而得到数列{bn}的通项公式；
（II）由（I）的结论及数列{an}满足an=log2bn+n+2，我们易求出数列{an}的通项公式，进而求出a1+a2+a3+…+am的表达式，由此可以构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到m的最大值．
【解析】
（I）因为b1，b3是函数f（x）=x2-5x+4的两个零点，
所以b1，b3是方程x2-5x+4=0的两根，故有．
因为公比大于1，所以b1=1，b3=4，则b2=2．…．（3分）
所以，等比数列{bn}的公比为，bn=b1qn-1=2n-1．…（6分）
（II）an=log2bn+n+2=log22n-1+n+2=2n+1．
所以，数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列．…．（9分）
故有．
即m2+2m-63≤0．
解得-9≤m≤7．所以m的最大值是7．…．（12分）