Question

在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：
（1）该考生得40分的概率；
（2）该考生得多少分的可能性最大？
（3）该考生所得分数的数学期望．

Answer

（1）根据题意，该考生8道题全答对即另四道题也全答对，根据相互独立事件概率的乘法公式，计算可得答案．
（2）该考生选择题得分的可能取值有：20，25，30，35，40共五种．设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C．得分为20，表示只做对有把握的那4道题，其余各题都做错；得分为25时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的一题（其中做对另外四题中的一题分为：A，，）；得分为30时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的二题（其中做对另外四题中的二题分为：，，）；得分为35时，表示做对有把握的那4道题和另外四题中的三题；得分为40时，表示8题全部做对，做出概率．
（3））由题意知变量的可能取值分别是20，25，30，35，40，根据第二问做出的结果，写出离散型随机变量的分布列，根据期望的定义，即可求出期望
【解析】
（1）设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C．则P（A）=，P（B）=，P（C）=
所以得（40分）的概率P==
（2）该考生得（20分）的概率P=
该考生得（25分）的概率：P==
该考生得（30分）的概率：
P==
该考生得（35分）的概率：
P=
=
=
∵
∴该考生得（25分）或（30分）的可能性最大
（3）该考生所得分数的数学期望Eξ=